Hoeveel basis-strukturen zijn er ?
Ik weet niet of het me gaat lukken kompleet te zijn , maar ik kan wel een heleboel verschillende basis-strukturen (schema’s) genereren.
Helaas ken ik niet de wiskunde die bij deze materie past , dus probeer ik het te doen door alle mogelijke variaties letterlijk in beeld te brengen.
Daarvoor vertrek ik vanuit de grondstruktuur van “mijn” oer-schema (Fig. v.7.2).
(De liefhebber kan hiernaast de file downloaden, waarin ik alle veranderingen heb opgetekend)
Als voorbeeld van verandering gaan we in kolom A1 twee letters in de 1e en 2e rij van plaats verwisselen. Zie Fig. v.7.2
In de betreffende kolom blijven alle letters vertegenwoordigd. Maar op de betrokken rijen niet….
Daarvoor moeten we in de kolommen B1 en C1 in dezelfde rijen nog letters van plaats verwisselen , zie Fig. v.7.4
Als voorbeeld van verandering gaan we in kolom A1 twee letters in de 1e en 2e rij van plaats verwisselen. Zie Fig. v.7.2
In de betreffende kolom blijven alle letters vertegenwoordigd. Maar op de betrokken rijen niet….
Daarvoor moeten we in de kolommen B1 en C1 in dezelfde rijen nog letters van plaats verwisselen , zie Fig. v.7.4
- Deze koppeling blijkt systematisch zo te zijn !
- Dit blijkt op twee manieren :
- – als we onze voorbeeld-verwisseling in kolom B1 of C1 hadden gestart zou dit steeds dezelfde eind-uitkomst hebben geleverd.
- – als we twee andere letters hadden verwisseld hadden we dezelfde soort koppeling gezien.
- Om deze reden is het voor alle blokken X voldoende als we voor onze verwisselingen alleen in blok AX bepalen hoeveel wijzigingen er mogelijk zijn.
- (Als het zo uitkomt voor de overzichtelijkheid van de figuren kan ik dus hierna ook alleen blok AX of de A-blokken laten zien)
Belangrijk om te vermelden is dat verwisselen binnen een rij van een blok niet werkt in dit schema !
Als je zo’n wissel zou doen , staan in de betreffende kolommen de verwisselde letters dubbel.
Om het kloppend te maken moeten dan in die kolommen zoveel letters verwisseld worden dat het uiteindelijke resultaat overeenkomt met een kolom-wissel (translatie) ; en die is al verrekend bij de optische variaties !
We beginnen met éénkoloms verwisselingen , dwz dat we binnen een blok slechts in één kolom een wissel inbrengen.
Voorbeeld : in Fig. v.7.6 kunnen we in kolom 1 van blok AX de letters c , f en i op 6 verschillende volgordes plaatsen.
Dit levert 5 variaties op het startschema in.
Dit kan ook in kolom 2 of 3 , met ieder ieder 5 variaties.
Het is echter òf in de ene òf in een andere kolom.
Dan resteren er 15 éénkoloms variaties.
- Maar er zijn ook kombinaties van verwisselingen mogelijk !
- Je kunt namelijk ook tegelijkertijd in 2 kolommen een verwisseling aanbrengen !
- Voorwaarde hierbij is dat die extra verwisseling niet in dezelfde regels mag vallen….
-
- Als je namelijk in dezelfde regels zou verwisselen , had de eindsituatie ook gemaakt kunnen worden door één koloms wissel plus een rij-verwisseling (=translatie) , zoals in Fig. v.7.7 te zien is.
Dit zou dus in een dubbeltelling resulteren….
- Als je namelijk in dezelfde regels zou verwisselen , had de eindsituatie ook gemaakt kunnen worden door één koloms wissel plus een rij-verwisseling (=translatie) , zoals in Fig. v.7.7 te zien is.
- Dubbeltellingen vermijden noem ik de “dubbelingen er uit zeven”
- Het is moeizaam geweest om alle mogelijke tweekoloms variaties op te tekenen , en daarna de vele dubbelingen er uit te zeven.
- In totaal kwam ik uit op 39 nieuwe kombinaties.
- Het totaal-schema is te groot om hier weer te geven , maar éénderde deel ervan is als voorbeeld te zien in Fig. v.7.8.
- De blokjes met groene vakjes eronder zijn dubbelingen.
- In dit deel van het totaal-schema zitten dus 16+3 unieke kombinatie-variaties.
-
- Voorbehoud : het opzetten van alle variatie-schema’s plus het onderling vergelijken om “dubbelingen” eruit te zeven was een heidens karwei. Ik heb mijn best gedaan maar garandeer niet dat ik daarbij geen fouten heb gemaakt.
- Als iemand het wil kontroleren , prima , graag zelfs
- Mooier zou het zijn als de wiskunde uitsluitsel zou geven
Tenslotte is er nog de mogelijkheid om in alle drie de kolommen te wisselen.
Ik heb dit uitgeprobeerd , maar zag dat alle kombinaties al voorkwamen bij de tweekoloms variaties !
Dus geen extra variatie toe tevoegen….
Dit geeft een totaal van 54 verwissel-mogelijkheden (15 + 39)
Deze kunnen echter alle onafhankelijk van elkaar ook in de Y- èn in de Z-blokken uitgevoerd worden.
Dit brengt het totaal op (54^3 =) 157.464 variaties
- Maar we zijn er nog niet !
- We zijn vertrokken van “mijn” oerschema (Fig. v.7.2). Daarin is een basis-ordening van links naar rechts terug te vinden , horizontaal dus.
- We hadden ook kunnen starten als in het middelste schema hieronder in Fig. v.7.9. Daarin is de hoofd-ordeningsrichting vertikaal.
- Hier zie je dat de blauw gekleurde hokjes niet goed korresponderen met de horizontale aequivalenten
- In het rechtse schema Fig.v.7.8 probeer ik het ook nog ondersteboven , maar daar worden de verschillen nog groter
- De horizontale en vertikale versie veranderen dus niet automatisch in elkaar. Het kan ook eigenlijk niet ! Omdat :
- – de schema’s niet in elkaar te veranderen zijn via translaties ;
- eenvoudig in te zien , want de c staat in blok AX in een andere kolom dan de a ; en aangezien bij translaties de kolommen en rijen in takt blijven , kun je in het rechter schema de c niet binnen het blokje onder de a krijgen.
- – via bovengenoemde 54 kolomvariaties lukt dit evenmin , want daarbij blijven de kolommen namelijk steeds in takt , evenals de rijen.
- .
- Omdat de schema’s blijkbaar niet in elkaar veranderd kunnen worden , kan het vertikale schema (op dezelfde wijze als het oer-schema) ook 157.464 verschillende basis-strukturen voortbrengen ! (maar nu door wissels in de rijen)
- In het vervolg kies ik voor de weergave van de vertikale ordening van het middelste schema
In totaal dus 314.928 basis-strukturen
Heb ik ze nu allemaal ?
Ik weet niet nog meer invalshoeken te bedenken….