v.06- Imaginaire getallen

Imaginaire getallen , letterlijk :  denkbeeldige getallen.
Zoals de term het al zegt :  getallen die alleen in onze denkwereld bestaan ;  die we niet kunnen aanwijzen op een getallenlijn (van -∞ via …. -3, -2, -1, 0, 1, 2 , 3, 4, ….. tot +∞) . 
Waarom vind ik imaginaire getallen zo bijzonder ?
In het kort :  mijn verwondering komt er op neer dat je berekeningen kunt maken via een denkbeeldige getallenwereld waarvan de uitkomsten in de realiteit bruikbaar zijn , want bij goede benadering kloppen (meetbaar, dus kontroleerbaar) !

  • Inleiding
  • In de wis- en rekenkunde komen bijzondere getallen voor.
    • Ik ga het hier niet hebben over numerologie :  dat betreft bijzondere getallen en patronen in series cijfers / getallen zoals die ooit gevonden zijn. Door veel mensen wordt aan die getallen en patronen zelfs een toekomstvoorspellende waarde toegedacht….!
  • Ik bedoel bijv getallen als  pi  en  e  die in de wis- , meet- en natuurkunde belangrijke rollen spelen ; of rationale en irrationale getallen , etc.
  • Hier wil ik het hebben over imaginaire getallen ,  want die blijken uitermate belangrijk.
  • Schrijfwijze
  • Denkbeeldige getallen !  hoe kun je die eigenlijk opschrijven ;  ofwel , hoe noteren we imaginaire getallen ?
  • Om dit uit te leggen heb ik een flinke aanloop nodig. Ik doe dit via het zgn. “worteltrekken”
  • We weten dat  2 x 2 = 4   en  3,5 x 3,5 = 12,25
    • en ook dat geldt  -2 x -2 = 4  en  -3,5 x -3,5 = 12,25
  • De omgekeerde bewerking is dat we van een getal willen weten welke twee gelijke getallen we met elkaar moeten vermenigvuldigen om het getal te produceren.
  • We noemen dit  “worteltrekken” :
    • de wortel uit  4  is  2 ,  maar ook -2
    • en de wortel uit 12,25  is  ±3,5    (± betekent in de wiskunde “zowel + als –” ,  dus niet “circa”)
    • .
      • Dit gaat ver. Zo kunnen we ook de wortel trekken uit 5 !  Daar komt dan een getal uit dat we nooit helemaal precies kennen 2,2360679774997896964091736687313…. (oneindig veel cijfers achter de komma).
      • Maar op de getallenlijn kunnen wel aanwijzen tussen welke getallen het ligt , namelijk tussen 2,2 en 2,3 .  Of precieser :  tussen de getallen 2,236  en 2,237 ,  of nog weer precieser :  tussen  2,236067  en 2,236068
        • Zo kun je steeds verder gaan :  je benadert de waarde van wortel 5 steeds nauwkeuriger ,  ook al kun je de eksakte waarde nooit aangeven !
      • Getallen als wortel(5) , dus met oneindig veel decimalen (zonder patroon erin) worden irrationale getallen genoemd. De andere getallen op de getallenlijn zijn rationale getallen , dwz te schrijven als een breuk van twee gehele getallen
      • .
      • Heel beroemde irrationale getallen zijn
        •  pi = 3,1415926535897932384626433832795……
      • en   e = 2,7182818284590452353602874713527…..
  • Nu komen we toe aan aan de imaginaire getallen.
  • Zoals we daarnet zagen trekken we wortels altijd uit positieve getalen. Dit komt doordat je altijd een positief getal krijgt als je twee gelijke (positieve of negatieve) met elkaar vermenigvuldigt.
  • Omgekeerd :  je kunt geen wortel trekken uit een negatief getal ,  omdat er geen twee gelijke getallen zijn die een negatief product geven.
  • Maar er zijn gevallen waarin je dit toch zou willen ,  want soms gebruiken we formules waarin de grootheid  -a2  voorkomt. Daarvoor is in de wiskunde een truc bedacht :  er is een grootheid  i  bedacht waarvoor geldt dat  i x i = -1
  • Dit kan rekenkundig eigenlijk niet ,  maar we definiëren het gewoon zo !
  • .
    • Dan mag je schrijven dat  wortel(-4)  =  wortel(-1 x 4) = 2i  (òf -2i !)
      •              en wortel(-12,25)  =  ±3,5i
    • En wortel(-5)  =  ±2,2360679774997896964091736687313…..i

Dit soort getallen kun je nergens op de getallenlijn aanwijzen ;  ook niet waar ze ongeveer liggen (dwz tussen welke twee rationale getallen ze zich bevinden).
In werkelijkheid “bestaat” het getal niet , we denken het ons in !  (de  i  van imaginair)
En het kan nog gekker :  de som van een rationaal getal en een irrationaal getal werkt ook als een getal !
   Bijv :   3 + 2i     of      25,3 – i (wortel 5)
Deze kombinaties worden complexe getallen genoemd. Ook deze zijn dus een voortbrengsel van onze verbeelding.

  • Bron :  https://nl.wikipedia.org/wiki/Imaginair_getal
    • Het werken met complexe getallen is in de 16e eeuw ontwikkeld door Gerolamo Cardano. Veel wiskundigen wilden er echter niet aan. Dit valt te verklaren uit het feit dat de wiskunde lang is gedomineerd door de meetkunde. De reële getallen hebben daarin een directe interpretatie (namelijk als de waarden van afstanden tussen punten), maar complexe getallen in het algemeen niet. René Descartes noemde ze in zijn werk La Géométrie (“de meetkunde”) uit 1637 dan ook schamper “imaginaire” (= denkbeeldige) getallen, en deze naam is blijven hangen. Sindsdien zijn er echter zeer belangrijke toepassingsgebieden gevonden, namelijk bij de beschrijving van trillingen en golven.

Nut
Wat heb je aan deze imaginaire getallen ,  wat kun je ermee ?
In de slotzin van bovenstaand citaat is dit al aangegeven. Hieronder twee voorbeelden

A.
In de (ouderwetse , analoge) elektronika worden circuits gebouwd van weerstanden ,  condensatoren en spoelen. In die circuits is de grootte-verhouding tussen het inkomende en het uittredende signaal niet konstant, maar afhankelijk van de tril-frekwentie van het inkomende signaal.
Door dit gericht toe te passen kun je bijv filters bouwen , die bepaalde frekwenties tegenhouden , of juist doorlaten. Of je bouwt een versterker die in een bepaalde range de signalen mooi gelijkmatig versterkt , etc.
Hoe weet je nu vantevoren dat je het bedoelde resultaat gaat halen ?  Door er aan te rekenen !
De frekwentie-eigenschappen van condensatoren zijn namelijk uit te drukken in de impedantie ,  ofwel de schijnbare weerstand (z) . Zc is afhankelijk van de frekwentie.
En zo is ook de frekwentie-afhankelijke induktie-waarde van een spoel uit te drukken in zijn impedantie zl
Het te bouwen circuit is te zien als een hoeveelheid parallel en serie-geschakelde sub-circuitjes van (schijnbare) weerstanden. De schijnbare weerstand hiervan kun je in één formule uitdrukken ,  waarmee in principe bekend is hoe het circuit zal reageren op verschillende ingangs-frekwenties.

  • Zo’n formule kan er best ingewikkeld uitzien. Er kunnen ook komplekse getallen in voorkomen. Maar voor computers vormt dit verder geen probleem.  
  • De rekensom zelf speelt zich dus af in een domein dat alleen in onze verbeelding bestaat.
    • Maar de uitkomsten kloppen met wat je achteraf meten kunt !
    • .
  • Dit betekent dus dat door capaciteits- en induktie-waarden in de formule aan te passen de gewenste uitkomst vrij behoorlijk benaderd kan worden.
    • Vrij behoorlijk ,  want het zal nooit helemaal kloppen doordat er in de praktijk altijd toleranties (afwijkingen) zitten op de bedoelde capaciteit van elke condensator. En zo ook op de induktie-waarde van elke spoel.
  • Je kunt dus berekenen hoe golven van elektrische frekwenties zich voortplanten door een elektrisch circuit. Omdat je dit in de ontwerpfase doet noem je dit het simuleren van de praktijk
  • B.
  • Een vorm van golven zijn mechanische trillingen in een konstruktie. Te zien als energie die heen en weer echoot in de konstruktie.
  • Als je een konstruktie belast met een periodieke kracht in een bepaalde frekwentie ,  zal hij bij sommige frekwenties reageren met heftige uitslagen. Die frekwenties noem je de eigenfrekwenties van die konstruktie.
    • Vergelijk dit met het tempo waarin je een schommel duwt : uit zichzelf gaat ie in een bepaalde slingerbeweging (trilling) heen en weer. Als je hem in dat tempo een duwtje geeft kost het weinig moeite om hem hoog op te slingeren
  • Nu is het zo dat in een scherpe tik àlle frekwenties zitten. (Bijv. met een hamer aantikken)
  • In het algemeen :  als je een tik geeft tegen een konstruktie kun je een zoemtoon (= geluidstrilling) horen ;  dat zijn de eigenfrekwenties van de konstruktie. De laagste eigenfrekwentie zul je het makkelijkst horen.

Een konstruktie kun je je voorstellen als deel-massa’s die aan elkaar verbonden zijn via het materiaal. De optredende trillingen blijken afhankelijk van de vormgeving (= positie van deelmassa’s tov. elkaar) en de stijfheid daartussen (elasticiteit = een eigenschap van het toegepaste materiaal).
Voor eenvoudige konstrukties kun je hier een benaderingsberekening voor opzetten ; en dat is al best ingewikkeld genoeg.
Met de zgn eindige-element-methode deel je een konstruktie op in een zeer groot aantal kleine deel-massa’s die aan alle kanten elastisch aan elkaar vast zitten. Dit zou een bizar groot aantal sub-berekeningen geven, maar ook hier levert de computer de oplossing voor al het rekenwerk.

  • Tegenwoordig is het al zover dat als je een 3D-tekening maakt in een computer , deze voor het gekozen materiaal (elasticiteit !) de bijbehorende trillingsgetallen berekenen kan. En als je je aantik-punt en -kracht opgeeft , vertelt de computer ook welke trillings-amplitude je krijgt op andere plaatsen in de konstruktie !
  • Met deze methodiek kun je dus het praktijkgedrag van konstrukties simuleren in de ontwerpfase , dus vóór je werkelijk iets gemaakt hebt. Je kunt in de tekening (het ontwerp) plaatselijk verstijvingen aanbrengen of materiaal wegnemen om ongewenste trillingen/gedragingen/vervormingen te vermijden ! 
  • Dit is vooral belangrijk in konstrukties die dynamisch belast worden (machines , treinen , bruggen, etc).  Maar ook voor windbelasting op hogere gebouwen geldt dit (windvlagen veroorzaken “trillingen”)
    • Ga er maar van uit dat dynamische belaste konstrukties zeer veel voorkomen , en dat het enorm belangrijk is dat we hun gedrag in de ontwerpfase kunnen simuleren….
  • Ook kun je deze methodiek gebruiken om een konstruktie zo licht mogelijk uit te voeren (materiaal- of gewichtsbesparing) , of hem zo stijf mogelijk te bouwen om lage eigenfrekwenties met daarbij horende relatief grote amplitudes te vermijden….


Zoals gezegd :  ik vind het nog altijd wonderlijk dat dit mogelijk is geworden door berekeningen in een denkbeeldige getallenwereld….  ( i  bestaat immers alleen per definitie !!!)



Tenslotte : ik meen te weten dat deze  i  ook speelt in de wereld van de fractals (u weet wel :  van die mooie kunstzinnige figuren ,  die zich eindeloos herhalen in kleinere en grotere richting)