Als je mensen vraagt hoe groot de kans is dat niemand zijn eigen lootje trekt , wordt meestal geopperd dat die kans kleiner wordt naarmate het aantal deelnemers groter is.
Dit blijkt onjuist , die kans nadert een konstante waarde
Als je n deelnemers hebt , kunnen de lootjes verdeeld worden op n! manieren (spreek n! uit als n-faculteit) ,
waarin : n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x …… x n
De uitkomst hiervan staat hieronder genoteerd in kolom z van tabel 1 voor elke x = n
Verder zie je op elke regel (x = n) in kolom y het aantal keren dat de loting goed gaat uit alle verschillende mogelijkheden in kolom z
Oorspronkelijk had ik voor mijn puzzel alleen de uitkomsten voor n = 1 , 2 , 3 en 4 ; op zoek naar enige regelmaat daarin heb ik indertijd de volgende formules opgesteld :
(Meer over bovenstaande formules , zie hierna onder “Geschiedenis”)
Vervelend vond ik dat met deze formules de uitkomst voor yn+1 alleen te bepalen is als je de resultaten voor alle kleinere n al kent…..
Wat ik wèl zag was dat naarmate n groter werd de verhouding yn / zn steeds dichter naderde tot een konstante waarde , afwisselend er onder of erboven (zie tabel 2). Deze waarde bleek overeen te komen met 1/e , waarin e een bekende wiskundige konstante is (e = 2,71828…..)
Maar ik kwam toen nog niet op het idee om de toch eenvoudige omkeer-stap te maken naar de formule hieronder voor de bepaling van het aantal geslaagde lotingen van de n! mogelijkheden
Volgens tabel 3 beurtelings af te ronden naar boven (n= even) of beneden (n= oneven) en dat blijkt dan steeds te gaan om het dichtsbijzijnde gehele getal (een integer is een andere naam voor een geheel getal).
Te zien is ook dat als n groter wordt , het verschil met de dichtstbijzijnde integer steeds kleiner wordt.
Elegant is dat nu met formule (IV) de uitkomst voor yn te bepalen is zonder de voorafgaande waarden van y te kennen.
In tabel 2 zie je kolom y/z makkelijk in dat :
vanaf n=5 heeft de loterij een slaagkans van bijna 37% !
Hieronder nog wat extra info :
** De wiskundige schrijfwijze voor 1/e is :
ook te schrijven als :
Deze formule levert exact het getal in kolom y/z (tabel 2) voor elke n deelnemers. Te zien is dat deze waarde al bij 5 deelnemers nog maar net iets meer dan 1 promille afwijkt van de limietwaarde.
** Pas in 2021 leerde ik dat mijn probleemstelling in de statistiek beschreven wordt met de zgn “derangement-formule” :
Hierin vertegenwoordigt !n (spreek uit als n-subfactorial) het aantal van alle mogelijke volgordes voor x =n waarbij er geen enkel cijfer op de oorspronkelijke plaats terecht komt (ofwel : niemand trekt zijn eigen lootje !)
Geschiedenis
Voor n = 1 of 2 zijn de uitkomsten simpel in te zien ; voor n = 3 en 4 heb ik de uitkomsten vastgesteld door al hun mogelijke volgordes uit te schrijven.
Het leek me voor de hand te liggen dat er een vorm van regelmaat moest zijn in de resultaten voor de diverse waarden van n . Zo heb ik na enig zoeken de formules (I) en (II) opgesteld.
Daarmee heb ik de uitkomst voor n = 5 voorspeld en die bleek te kloppen in de daarna uitgeschreven mogelijke 120 volgordes !
De uitkomst in kolom y/z voor n =5 sloot mooi aan bij het beeld van de resultaten van n = 1 , 2 , 3 en 4 die ombeurten onder en boven een zekere waarde leken te liggen. Voor n = 5 werd die waarde weer dichter benaderd.
Met uitbreiding via de formules naar n = 6 , 7 en 8 zag ik dat de resultaten snel en konsekwent wisselend convergeerden naar een waarde van ca 0,3678…..
Deze resultaten gaven me de “zekerheid” dat ik de oplossing gevonden had.
Eerst dacht ik te maken te hebben met een voor mij onbekende wiskundige konstante !! Maar al spoedig probeerde ik maar eens uit wat de inverse van e was…. BINGO !
Wat een verrassing dat deze belangrijke en bekende wiskundige grootheid e al in zo’n simpele loterij tevoorschijn kwam !!
(Deze grootheid e speelt in tal van natuur- en scheikundige processen een prominente rol)