We gaan een kubus vullen met bolletjes met diameter d .
We nemen een standaard kubus, dwz de riblengte is 1 .
En we gaan ervan uit dat de bolletjes zo’n diameter hebben dat er langs één ribbe een heel aantal bollen past.
Met n als het aantal bolletjes langs die ribbe levert dit de basis-relatie
n.d = 1 – – – – (I)
Ik zie vier manieren om een kubus te vullen met bollen
A vierkant-stapeling
B verdichte stapeling
C dichtste stapeling
D chaos
– Per geval bepaal ik de vulgraad van de kubus , dwz de verhouding tussen het volume van de bolletjes tot het volume van de kubus.
– En tot slot maak ik nog twee opmerkingen
A VIERKANTSTAPELING
Dit is de makkelijkst te doorziene vorm , maar in werkelijkheid met bolletjes niet makkelijk te stapelen !
Deze vorm is echter een goed startpunt voor mijn analyse
De bolletjes worden op het grondvlak orthogonaal naast elkaar gelegd.
Aangezien het grondvlak een vierkant is kunnen er n rijen naast elkaar worden gelegd. Die laag bevat dus n2 bolletjes.
Het betekent evenzo dat er in de hoogte n van die lagen kunnen worden geformeerd.
Dat wil zeggen dat de kubus op deze wijze n3 bolletjes kan bergen, ofwel :
Nvk = n3 – – – – (II)
met Nvk als het aantal bolletjes in de vierkantstapeling. De afstand tussen de middelpunten van elkaar rakende bolletjes (ofwel de hartafstand) is altijd d .
De bolletjes zitten als het ware in evenveel mini-kubusjes in de grote kubus zoals die zichtbaar is in de rechter figuur.
De ribbe van deze kubusjes is natuurlijk ook d .
.
B VERDICHTE STAPELING
Er kunnen in die kubus méér bolletjes geborgen worden dan in de vierkantstapeling. Zie de figuur hieronder.
In deze opzet leggen we naast de eerste rij de tweede rij in de holtes van de eerste rij.
De hart-afstand a van de rijen wordt hierdoor kleiner , dus zullen er iha meer rijen passen op het grondvlak
* We gaan eerst n1 bepalen , dat is het aantal rijen op het grondvlak
De middelpunten van de bollen liggen op de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek. Daarvoor geldt dat
a = (d/2).Wortel(3) – – – – (III)
In de figuur is direkt in te zien dat
d/2 + (n1-1).a + d/2 + b = r = n.d – – – – (IV)
met n2 als het aantal rijen in het grondvlak en b als de resterende marge ;
Er is altijd één afstand a minder dan het aantal rijen n1 en b is een onzeker stuk
We veranderen daarom de relatie (IV) in de vergelijking
(n1-1).a + d = n.d waarin b gelijk is aan het deel van de uitkomst achter de komma
Vereenvoudiging geeft
n1 = 1 + (n-1).(d/a)
Met formule (III) verkrijgen we het aantal rijen in de betreffende laag
n1 = 1 + (n-1).2/Wortel(3)
Het gaat om een discreet aantal bollen, dus is n2 het integere gedeelte van de uitkomst. Het stuk achter de komma is b. Door de Wortel(3) in de formule zal er altijd een b zijn. Maar we doen er verder niks mee in dit verhaal. Dus :
n1 = INTEGER(1 + (n-1).2/Wortel(3)) – – – – (V)
* Nu gaan we berekenen hoeveel bollen er op het grondvlak liggen.
We zien dat in elke even rij één bol minder voorkomt. In de berekening starten we dan met te veronderstellen dat er n.n2 bolletjes in de laag liggen, om er vervolgens voor elke even rij één af te trekken.
Dan wordt de formule voor het aantal bolletjes L1 in die laag op het grondvlak
L1 = n1.n – INTEGER(n1/2) – – – – (VI)
In Tabel.1 (Bijl.1) zien we dat bij n = 8 er voor het eerst meer bolletjes in de laag liggen dan de n2 van de vierkant-stapeling.
* Vervolgens gaan we in de hoogte kijken
De verdichte stapeling gaat ervan uit dat we rechtstreeks n van deze lagen boven elkaar leggen.
Daarmee wordt de totaalvulling Nvds
Nvds = n.(n.n1 – INTEGER(n1/2)) – – – – (VII)
Voor heel grote waarden van n worden de verschijnselen aan de randen (b !) relatief steeds onbelangrijker en kruipt de Nvds naar de limietwaarde n3.2/Wortel(3) = 1,154700.n3 (bij n = 1.000.000 is de afwijking nog maar 1 ppm).
Dan is een goede benadering
Nvds = n3.2/Wortel(3) – – – – – – – – – – (VIII)
C DICHTSTE BOLSTAPELING
Zoals gesuggereerd passen er nog meer bolletjes in de kubus
We beginnen met een grondlaag-vulling zoals bij de verdichte stapeling, maar nu gaan we de tweede laag leggen in de holtes van de onderliggende laag. Dan kunnen we in het algemeen meer lagen kwijt. Zie figuur hiernaast.
De middelpunten van een rode bol en drie onderliggende zwarte vormen de hoekpunten van een gelijkzijdig viervlak.
De afstand tussen de lagen is nu gelijk aan h , de hoogtelijn in het viervlak. Daarvoor valt af te leiden dat
h = d.Wortel(2/3) – – – – (IX)
[ In het grondvlak van het viervlak komt de hoogtelijn uit in het zwaartepunt van de gelijkzijdige driehoek, dus p : q = 1 : 2
Samen met p + q = a èn (III) èn de Pythagoras relatie h2 = d2 – q2
levert dit tot bovenstaande uitkomst (IX) ]
* Bepaling aantal rijen n2 in de tweede laag.
Voor de rode laag zien we in de figuur nu de relatie
d/2+p+(n2-1).a +d/2 + b = r = nd
Analoog aan (IV) maar nu met verschuiving p.
Ook hier is b het overschotje dat straks achter de komma zou verschijnen. Met p = a/3 herleiden we bovenstaande relatie tot :
n2 = 2/3 + (n-1).(d/a)
Met de INTEGER-funktie werken we de decimalen weg, omdat we verder niks doen met b.
Samen met (III) levert dit
n2 = INTEGER(2/3+ (n-1). 2/Wortel(3)) – – – – (X)
In Tabel.2 (Bijl.2) zien we dat n2 hooguit gelijk is aan n1 , nooit groter (en dat is begrijpelijk !)
* Bepaling van de vulling L2 van de tweede laag.
In de tweede laag liggen in de on-even rijen (n-1) bollen en in de even rijen n bollen. Naar analogie met (VI) wordt de vulling nu :
L2 = (n-1).n2 + INTEGER(n2/2) – – – – (XI)
L2 zal weer nooit groter zijn dan L1.
De derde laag ligt precies boven de eerste, en zal dus hetzelfde patroon laten zien. De vierde laag is weer gelijk aan de tweede. Enzovoort !
* De totaal-vulling van de kubus
In de eerste laag liggen L1 bolletjes (zie (VI)). Dit geldt voor alle oneven lagen !
In de even lagen liggen steeds L2 bolletjes
Dan moeten we nog in rekening brengen of n3 even of oneven is. Dit doen we alsvolgt :
Ndbs = INTEGER(0,5 + n3/2).V1 + INTEGER(n3/2).V2 – – – – (XII)
Aleen als n3 oneven is , wordt in deze formule één laag met V1 meer gerekend dan in V2 .
In de tabel zien we dat als n heel groot is de uitkomst tot n3.Wortel(2) nadert.
Bij n = 1.000.000 is de afwijking al minder dan 2 ppm. Dan is een goede benadering
Ndbs = n3.Wortel(2).-.-.-.-.(XIII)
D Chaos
Dit is te zien als het resultaat van bolletjes storten in de eenheidskubus , zonder aan de kubus te schudden. Mengvormen van A , B en C zullen zich plaatselijk voordoen.
Zie verder bij “Opmerkingen”
VULGRAAD (V)
Hiermee bedoel ik het volume van de bolletjes tov. dat van de kubus. Het vul-percentage noem ik V.
Het totaal aantal bolletjes N in de kubus is blijkens het bovenstaande altijd uit te drukken als een funktie van n3
N = x.n3
Het volume van een bol is (pi/6)d3 ; van alle bolletjes samen dus N.(pi/6)d3 .
Het volume van de kubus = 1.1.1 = 1
De vulgraad is dan V = x.n3.(pi/6)d3 / 1
Dit is door relatie (I) te vereenvoudigen tot
V = x.(pi/6) – – – – (XIV)
Hierin is x het getal dat in de tabel steeds op de regel van de betreffende n in de kolom onder “aantal bollen in verhouding tot vierkantstapeling” staat. In de kolommen ernaast resp. de aktuele vulgraad en de afwijking van de limiet
Op de onderste regel tevens de betreffende limietwaardes.
– Voor de vierkant-stapeling is x =1 de vulgraad een konstante, namelijk gelijk voor elke n :
Vvk = 52,36% – – – – (XV) (afgerond)
– Voor de verdichte stapeling hangt de vulgraad wèl af van het aantal bolletjes n . Met voor x de limietwaarde
x = 2/Wortel(3) = 1,1547… nadert de vulgraad tot
Vvd = 60,46% – – – – (XVI) (afgerond)
Bij n = 106 is de onderschrijding van de limietwaarde < 1 ppm
– Voor de dichtste bolstapeling hangt de vulgraad eveneens af van het aantal bolletjes n .
Met voor x de waarde x = Wortel(2) als limiet ; waardoor de vulgraad nadert tot
Vdbs = 74,048% – – – – (XVII)
Bij n = 106 is de onderschrijding van de limietwaarde < 2 ppm
Opmerkingen
* Stabiliteit van de stapeling
– in de vierkantstapeling zien we dat elke bol in zijn vlak 4 andere bollen raakt. En dan nog 1 in de laag erboven en 1 in de laag eronder.
Elke bol die niet aan de rand zit raakt dus 6 andere.
– in de verdichte stapeling raakt elke bol in zijn vlak 6 andere. En dan nog 1 in de laag erboven en 1 in de laag eronder.
Elke bol die niet aan de rand zit raakt dus 8 andere
– in de dichtste bolstapeling raakt elke bol in zijn vlak 6 andere. En dan nog 3 in de laag erboven en 3 in de laag eronder.
Elke bol die niet aan de rand zit raakt dus 12 andere
Vermoedelijk is het bovenstaande een aanduiding voor stabiliteit van de stapeling.
Het is namelijk aannemelijk dat de stabiliteit groter wordt naarmate de bol meer ingesloten is door zijn buren
* Chaos
Als je bolletjes stort in een kubus krijg je een mengvorm van de drie voornoemde stapelingen , een beetje verdeeld vermoedelijk naar bovengenoemde stabiliteiten. De vierkantstapeling zal dan het minst voorkomen , te instabiel.
En als je vervolgens de kubus schudt zal de voorkeur oplopen in de richting van dichtste bolstapeling. Maar door de onvermijdelijke randverschijnselen b ontstaan ook onregelmatigheden (verzakkingen en verschuivingen, “dislocaties”) , waardoor mengvormen blijven.
Moeilijk te voorspellen hoeveel bolletjes er in de kubus zullen zitten. Zal tussen de verdichte en de dichtste bolstapeling in zitten , die als limiet resp, 1.1547… en 1,4142… maal n3 bolletjes hebben. Misschien wel in de buurt van ~1,33n3 . Hiermee zou een vulgraad bereikt worden van
Vch ~ 70% – – – – (XVIII)