v.02- Lint

• *   Inleiding hoeveelheid gasdeeltjes (uit de scheikunde) :
  • Om twee stoffen perfekt met elkaar te laten reageren is het belangrijk dat ze elk het juiste aantal atomen/moleculen aanbieden.
  • In de scheikunde is daarom een afspraak gemaakt over een standaard hoeveelheid deeltjes (atomen/moleculen) , genaamd 1 mol. Als volgt gedefinieerd :
    • 1 mol is zoveel gram van een stof als zijn atoom- of molecuulmassa bedraagt.
  • Door deze afspraak zitten in die ene mol dan 6,022140857.10²³ deeltjes. Dit getal heet de constante van Avogadro , of kortweg N_A
    • (Bijv : omdat het waterstofatoom de atoom-massa 1 heeft , zitten in 2 gram waterstof N_A deeltjes H₂ . Dit is vast niet precieser achter de komma dan dat je die 2 gram kunt afwegen !)
  • Dit getal heeft men experimenteel bepaald

*   Hoeveel gasdeeltjes zitten er in 1 cm³ ?
Met gassen is er iets bijzonders aan de hand :  het volume van 1 mol gas bij standaardtemperatuur T= 0°C  en standaarddruk  1 atm (resp.  273,15K  en  p₀ = 101325 Pa) blijkt altijd vlakbij 22414 cm³/mol te liggen. Het zogeheten molair volume van gas blijkt dus (zo goed als) onafhankelijk van het soort gas !
Dus ook van een samengesteld gas zoals lucht.
Dan zitten er bij  0°C en 1 atm  26,867765.10¹⁸ gasdeeltjes in 1 cm³
Ik noem deze hoeveelheid hieronder  Nc (= N_A / 22414)

*   Wat is de afstand tussen die deeltjes ?
We gaan de gasdeeltjes gelijkmatig over de ruimte verdelen , dus zodanig dat elk gasdeeltje gelijke bewegingsruimte heeft !
Ik zie hiervoor twee manieren :
–  vierkantstapeling
–  dichtste bolstapeling
Die gaan we hieronder nader bekijken. Beide geven een beeld van gelijkmatige verdeling te zien. Welke is de beste ?

• Vierkantstapeling
• Een vierkantstapeling heeft  a hokjes in x-richting,  maar ook in de y- en de z-richting.
  • We geven elk gasmolecule zijn eigen hokje (beweegruimte)
• Dus als we 26,867765.10¹⁸ hokjes maken volgens zo’n ideale vierkantstapeling ,  dan liggen langs elke as  2.995.094 hokjes    (derdemachtswortel uit 26,867765. 10¹⁸).
• De afstand tussen het hart van direkt naast elkaar liggende hokjes is dus 1cm/2995094 = 3,33879.10^-7 cm   (~ 3,3 nm)
• Wanneer je deze afstand als gemiddelde afstand tussen de bewegende gasdeeltjes zou nemen , kom je tot een lintlengte van het totaal aantal bolletjes (Nc) x de afstand (d).
• Dat is 26,867765.10¹⁸ . 3,338793.10^-7 = 8,9705915.10¹² cm    
  • •  (In formule-vorm : (Nc)^2/3 cm )
• Dit is 89.705.916 km ,
  • • oftewel : 2242 keer de aarde rond !  
• Alleen is dit niet de juiste gemiddelde afstand , zie hieronder bij Keuze….

Dichtste bolstapeling
–  In de dichtste bolstapeling gaan we uit van  n³.Wortel(2)  bolletjes in een kubus. We drukten hiermee uit dat er meer bolletjes in pasten dan in de vierkantstapeling.
Aangezien Nc gelijk blijft betekent dit omgekeerd dat de gemiddelde afstand groter moet zijn (dan de orthogonale afstand in de vierkantstapeling). Langs één van de assen zullen dus  n1  bolletjes passen ,  waarbij  n1 = (Nc / 2^1/2 )^1/3  (is ca 2668326 bolletjes)
–  Aangezien per definitie  n1 . d1 = 1  wordt de afstand van de bolletjes onderling de inverse van n1 ,  zijnde 3,747668.10^-7 cm (~ 3,75 nm) .
Inderdaad iets groter dus dan in de vierkantstapeling , om precies te zijn :  2^1/6 maal   
–  Het lint zal dus overeenkomstig langer worden (d1 . Nc) .
Dat is  100.691.463 km !
Af te ronden op ruim 2500 keer de aarde rond….

Keuze
Beide laten een regelmatige verdeling van de gasmoleculen zien, in kubusjes of in bolletjes
– Bij de vierkantstapeling hebben we als maatstaf genomen de kortste afstand tussen het hart van twee naast elkaar liggende hokjes , de orthogonale afstand tot de zes naaste buren. Maar er zijn nog 20 nabije buren op diagonale afstanden Wortel(2) en Wortel(3) . Dus was die orthogonale afstand geen goede maatstaf voor de gezochte gemiddelde afstand tussen de gasdeeltjes
Als de gasdeeltjes elkaar aantrokken zouden ze ergens bij elkaar klonteren. Ingeval ze elkaar afstoten zouden ze proberen op zo groot mogelijke onderlinge afstand binnen die cm³ te verblijven.
(En ingeval ze elkaar niet zouden aantrekken of afstoten , is het nog altijd aannemelijk dat de deeltjes zich zo verspreiden dat de gemiddelde afstand maximaal is….. )
– Bij de dichtste bolstapeling heeft een bolletje 12 aangrenzende buren , de afstand tot elk is gelijk !
Dit lijkt stabieler dan het resultaat bij de vierkantstapeling hierboven , waar 6 naaste buren op de kortste afstand staan en 20 andere buren op wat grotere afstand. Dit laatste is onwaarschijnlijk in gas , de moleculen zullen zich gelijkmatiger verspreiden….
Daarom vind ik de dichtste bolstapeling de juiste benadering

Omdat de hoeveelheid gasdeeltjes in die cm³ afhankelijk is van de druk (p) en de temperatuur (T) geef ik hieronder de uitkomst voor de dichtste bolstapeling in formulevorm :
Lintlengte =  2^1/6 .[ N_A / 22414 x (273,15 / (273,15 + T)) x p/101325]^2/3    ….[cm]   met T in °C  en p in Pa
            ….=  1,122462.[ 0,0724296.10¹⁸ . (p/(273,15+T)) ]^2/3  cm
            ….=  1,122462 . 0,1737577119 . (p/(273,15+T))^2/3 .10¹² cm
Die 0,15°C geeft maar schijnnauwkeurigheid tussen de andere afrondingen.
Lintlengte  =  1950364,3 x [ p/(273+T) ]^2/3 km      (met  T in °C   en   p in Pa )

Of ca     48,76 x [ p/(273+T) ]^2/3   keer de aarde rond   [ T in °C  en p in Pa ]